Simple Math - высшая математика в теории и практике

Лучший момент в жизни математика – это когда он уже вывел доказательство, но ещё не нашел ошибки в расчетах.

 

Метод Гаусса

E-mail Печать PDF

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

delim{lbrace}{matrix{6}{1}{{a_11*x_1+a_12*x_2+a_13*x_3+{cdots}+a_{1n}*x_n=b_1} {a_{21}*x_1+a_22*x_2+a_23*x_3+{cdots}+a_{2n}*x_n=b_2} {vdots}{a_{i1}*x_1+a_{i2}*x_2+a_{i3}*x_3+{cdots}+a_{{i}n}*x_n=b_i} {vdots} {a_{m1}*x_1+a_{m2}*x_2+a_{m3}*x_3+{cdots}+a_{mn}*x_n=b_m}}}{}

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса:

Прямой ход

  •  I шаг: осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. Делим первое уравнение на a_11<>0 (если , a_11=0 то изменить порядок уравнений, выбрав первым такое уравнение, в котором коэффициент при x не равен нулю), умножаем полученное уравнение на a_{i1}<>0 и вычитаем из i-го ур-я. Получим систему вида:
    delim{lbrace}{matrix{6}{1}{{x_1+b_12*x_2+b_13*x_3+{cdots}+b_{1n}*x_n=b_1} {~~b_22*x_2+b_23*x_3+{cdots}+b_{2n}*x_n=b_2} {vdots}{~~b_{i2}*x_2+b_{i3}*x_3+{cdots}+b_{{i}n}*x_n=b_i} {vdots} {~~b_{m2}*x_2+b_{m3}*x_3+{cdots}+b_{mn}*x_n=b_m}}}{}
    причем b_{ij} получаются из a_{ij} по следующим формулам:

    b_{1j}=a_{1j}/a_11~(j=2,~3,~{cdots}, m);
    b_{ij}=a_{ij}-a_{i1}*b_{1j}~(i=2,~3,~{cdots}, n;~j=2,~3,~{cdots}, m);

  • II шаг:  Повторяем действия первого шага, только за начальное уравнение берем уже i-ое уравнение. В итоге исходная система преобразуется к ступенчастому виду:
    delim{lbrace}{matrix{6}{3}{{x_1+b_12*x_2+b_13*x_3+{cdots}+b_{1n}*x_n} {=} {b_1} {x_2+c_23*x_3+{cdots}+c_{2n}*x_n}{=}{b_2}{vdots}{~}{~}{x_i+{cdots}+d_{{i}n}*x_n}{=}{b_i}{vdots}{~}{~}{f_{mn}*x_n}{=}{b_m}}}{}, -
    тогда система совместна и определена и имеет одно решиние
    или delim{lbrace}{matrix{4}{3}{{x_1+b_12*x_2+b_13*x_3+{cdots}+b_{1n}*x_n} {=} {b_1} {x_2+c_23*x_3+{cdots}+c_{2n}*x_n}{=}{b_2}{vdots}{~}{~}{x_i+{cdots}+d_{{m}n}*x_n}{=}{b_m}}}{},
    тогда система совместна и неопределена и имеет бесчисленное множество решиний

Обратный ход. Последовательно находятся все неизвестные, начиная с последней.

 

Добавить комментарий