Производная сложной функции

Печать

а) y=3root{3}{x^5+5x^4-5/x}

Решение: y'=k*f(g(x))=k*f'*g', где k-коэффициент, f - функция корня, g - многочлен

y'=3*(root{3}{x^5+5x^4-5/x})'=3*{1/3}*(x^5+5x^4 - 5/x)^{-2/3}*(5x^4+20x^3+5/{x^2})=

{=}(x^5+5x^4-5/x)^{-2/3}*(5x^4+20x^3+5/{x^2})

 

b) y=ln sqrt{{1-sinx}/{1+sinx}}

Решение: y=(ln sqrt{{1-sinx}/{1+sinx}})prime={(sqrt{{1-sinx}/{1+sinx}})prime}/{sqrt{{1-sinx}/{1+sinx}}}=

{=}({1-sinx}/{1+sinx})' * {{1}/{2*{sqrt{{1-sinx}/{1+sinx}}}*sqrt{{1-sinx}/{1+sinx}}}}=

{=}{{-cosx*(1+sinx)~-~cosx*(1-sinx)}/{(1+sinx)^2}}*{{1}/{2*{{1-sinx}/{1+sinx}}}}=

{=}{{-2cosx*}/{(1+sinx)^2}}*{{1}/{2*{{1-sinx}/{1+sinx}}}}={-cosx}/{1-sin^2x}=-{1}/{cosx}

 

c) y=arctg(tg^2x)

Решение: y'={(tg^2x)prime}/{1+tg^4x}=2tgx*{1/{cos^2x}}*{1/{1+tg^4x}}=

{=}2tgx*{1/{cos^2x}}*{{cos^4x}/{cos^4x+sin^4x}}={2tgx*cos^2x}/{cos^4x+sin^4x}=

{=}{2{{sinx}/{cosx}}*cos^2x}/{(cos^4x+2sin^2xcos^2x+sin^4x)-2sin^2xcos^2x}=

{=}{2sinxcosx}/{(cos^2x+sin^2x)^2-2sin^2xcos^2x}={2sinxcosx}/{1-2sin^2xcos^2x}={2sin2x}/{2-sin^2{2x}}