Производная, правила дифференцирования

Печать

Если k - постоянное число, и f = f(x), g = g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

  1. (k)' = 0,~(kf)' = kf' - при дифференцировании константу можно выносить за производную

    Примеры:

    1. (4x^5)prime=4(x^5)prime=20x^4
    2. (7/x^3)prime=7(1/x^3)prime=7(x^{-3})prime=-21x^{-4}=-{21}/{x^4}
  2. Правило дифференцирования суммы функций:
      (f+g)prime=f'+g' - производная суммы равна сумме производных
      (f -g)'=f'- g' - производная разности равна разности производных

    Примеры:

    1. y=2/7x^3sqrt{x}~-~4/{11}x^5sqrt{x}~+~2/{15}x^7sqrt{x}
        Решение. y'=(2/7x^3sqrt{x}~-~4/{11}x^5sqrt{x}~+~2/{15}x^7sqrt{x})prime={=}(2/7x^3sqrt{x})prime~+~(4/{11}x^5sqrt{x})prime~+~(2/{15}x^7sqrt{x})prime=
       {=}2/7delim{[}{x^(3+1/2)}{]}prime+4/{11}delim{[}{x^(5+1/2)}{]}prime+2/{15}delim{[}{x^(7+1/2)}{]}prime
       {=}2/7(x^{7/2})prime+4/{11}(x^{11/2})prime+2/{15}(x^{15/2})prime
  3. Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):
      (fg)prime=f'g+fg'

    Примеры: y=x^2sinx+2xcosx

    Решение. Для нахождения произовдной используем два правила дифференцирования сложения и произведения y'=(x^2sinx+2xcosx)prime=(x^2sinx)prime+(2xcosx)prime={=}(x^2)'sinx+x^2(sinx)'+(2x)'cosx+2x(cosx)prime={=}2xsinx+2xcosx+2cosx-2xsinx=2xcosx+2cosx
    Ответ. y'=2xcosx+2cosx