Производная неявной функции

Печать

Пример 1. Найти производную y_x ' неявной функции x^2+y^2=4

Решение. Так как у является функцией от х, то будем рассматривать y2 как сложную функцию от х. Следовательно, (y^2) prime = 2yy prime . Продифференцировав по х обе части данного уравнения, получим,  2x+2yy prime = 0 т.е. y prime = - x/y


Пример 2. Найти производную y_x 'неявной функции x^3+ln y - x^2e^y=0

Решение.  Дифференцируя по х обе части данного уравнения, получаем

3x^2+{y prime}/y - x^2e^y y prime - 2xe^y=0 т.е. y prime = {(2xe^y-3x^2)y}/{1-x^2 y e^y}


Пример 3. Найти производную y_x ' неявной функции x^2 sin y+y^3 cos x=0

Решение.  Дифференцируя по х обе части данного уравнения, получаем

(x^2) prime sin y+x^2(siny) prime + (y^3) prime cos x+y^3(cos x) prime=0

2x sin y+x^2 cos y y prime+3y^2 y prime cosx-y^3 sin x=0

т.е. y prime = {y^3 sinx - 2x sin y}/{x^2 cos y + 3 y^2 cos x}


Пример 4. Найти производную y_x ' неявной функции x y^2 +sin (x+ y) - 3^x=0

Решение.  Дифференцируя по х обе части данного уравнения, получаем

y^2+x 2y y prime + cos(x+y)(1+y prime) - 3^x ln 3=0

Раскроем скобки

y^2+2xy y prime + cos(x+y)+ y prime cos(x+y) - 3^x ln 3=0

y prime (2 xy + cos(x+y))= 3^x ln 3- y^2-cos (x+y)=0

т.е. y prime = {3^x ln 3 - y^2 - cos(x+y)}/{2xy +cos(x+y)}