Производная обычной функии

Печать

Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций:

Пример 1. y=2x^3-5x^2+7x+4

Решение.

y prime=(2x^3) prime -(5x^2) prime +(7x) prime + (4) prime  =

2(x^3) prime -5 (x^2) prime +7x prime + 4 prime=2*3x^2-5*2x+7*1+0=6x^2-10x+7.


Пример 2. y=x^2e^x

Решение. y prime=x^2(e^x) prime + e^x(x^2) prime=x^2 e^x+2x e^x=xe^x(x+2)


 

Пример 3. y=x^3 arctg x

Решение. y prime=x^3 (arctg x) prime + arctg x(x^3) prime=x^3 1/{1+x^2}+3x^2 arctg x=x^3/{1+x^2}+3x^2arctg x


Пример 4. y=x sqrt{x}(3 ln x -2)

Решение. Перепишем заданную функцию в виде y=x^{3/2}(3 ln x -2). Тогда

y prime=x^{3/2} 3/x+3/2 x^{1/2}(3lnx-2)=3x^{1/2}+9/2x^{1/2}lnx-3x^{1/2}=9/2 sqrt{x}lnx


Пример 5. y=(2x^3+5)^4

Решение. Обозначим 2x^3+5=u, тогда y=u^4. По правилу дифференцирования сложной функции имеем

y prime=(u^4)_u' ~*~ (2x^3+5)_x'=4u^3(6x^2)=24x^2(2x^3+5)^3


Пример 6. y=sin(2x+3)

Решение. y prime=cos(2x+3)(2x+3) prime=2cos(2x+3)


Пример 7. y=x^x^2

Решение. Здесь основание и показатель степени зависят от x. Логарифмируя, получим ln y=x^2 ln x. Продифференцируем обе части последнего равентсва по x. Так как y является функцией от x, то ln y есть сложная функция x и (ln y) prime=1/y y prime.  Следовательно,

{y prime}/y=x^2~ 1/x+2x ln{x}, ~~{y prime}/y = x (1+2 ln x),

y prime=x y(1+2 ln x)= x x^x^2 (1+2 ln x)=x^{x^2 + 1}(1+2 ln x)


 

Пример 8. y={(2x-1)^3 sqrt{3x+2}}/{(5x+4)^2 root{3}{1-x}}

Решение.  Заданную функцию следует предварительно прологарифмировать:

ln y=3ln (2x-1)+1/2 ln(3x+2)-2 ln(5x+4)-1/3 ln (1-x);

{y prime}/y=~2 3/{2x-1}+1/2 3/{3x+2} - 2 5/{5x+4}+1/{3(1-x)};

y prime={(2x-1)^3 sqrt{3x+2}}/{(5x+4)^2 root{3}{1-x}}=[6/{2x-1}+3/{2(3x+2)} - 10/{5x+4}+1/{3(1-x)}]