Примеры решения: Предел функции

Печать

Пример 1. Найти предел {lim}under{x{right}1}{x^2-1}/{x^2+5x-6}

Решение. Предел знаминателя равен нулю. Подстановка числа х=1 под знак предела призводит к неопределенности вида 0/0. Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на (x-1),~~(x<>1):

{lim}under{x{right}1}{x^2-1}/{x^2+5x-6}=delim{lbrace}{0/0}{rbrace}={lim}under{x{right}1}{(x-1)(x+1)}/{(x-1)(x+6)}={lim}under{x{right}1}{x+1}/{x+6}=2/7

 

Пример 2. Найти предел {lim}under{x{right}{infty}}{2x^3+3x}/{5x^3+x^2+5}

Решение. Имеем определенность вида {infty}/{infty}. В подобных ситуациях следует числитель и знаменатиль разделить на наивысшую степень х

{lim}under{x{right}{infty}}~{2x^3+3x}/{5x^3+x^2+5}={infty}/{infty}={lim}under{x{right}{infty}}~{{2x^3}/x^3+{3x}/x^3}/{{5x^3}/x^3+x^2/x^3+5/x^3}={lim}under{x{right}{infty}}~{2+3/x^2}/{5+1/x+5/x^3}={2+0}/{5+0+0}=2/5

 

Пример 3. Найти предел {lim}under{x{right}{infty}}~({3x+2}/{3x+1})^{2x-1}

Решение. 

{lim}under{x{right}{infty}}~({3x+2}/{3x+1})^{2x-1}=delim{lbrace}{1^{infty}}{rbrace}={lim}under{x{right}{infty}}~({3x+1+1}/{3x+1})^{2x-1}={lim}under{x{right}{infty}}~(1+1/{3x+1})^{2x-1}=

{=}{lim}under{x{right}{infty}}~delim{[}{(1+1/{3x+1})^{3x+1}}{]}^{~{1/{3x+1}}{(2x-1)}}=e^{{lim}under{x{right}{infty}}({2x-1}/{3x+1})}=e^{2/3}

 

Пример 4. Найти предел lim{x{right}0}{{arcsin^{2}3x}/{cos{3x}-cosx}}

Решение. Согласно формуле тригонометрии cos{3x}-cosx=-2sin{2x}sinx. Поскольку при x{right}0~~sinx эквивалентно x, и sin{2x} эквивалентно  2x,~ arcsin^2{3x} эквивалентно  (3x)^2, тогда

lim{x{right}0}{{arcsin^{2}3x}/{cos{3x}-cosx}}=lim{x right 0}{ {(3x)^2}/{-2sin{2x}sinx}}=lim{x right 0}{ {(3x)^2}/{-2*2x*x}=-9/4}