Simple Math - высшая математика в теории и практике

В студенческой столовой:  - Мне три вторых. - А корень из минус двух не хочешь?

 

Свойства пределов

Печать

Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если для любого наперёд взятого положительного числа varepsilon>0 найдётся отвечающее ему положительное число delta>0 такое, что для всех аргументов x, удовлетворяющих условию 0<delim{|}{x-a}{|}<delta, выполняется неравенство delim{|}{f(x)-A}{|}<varepsilon.

В этом случае пишут {lim}under{x{right}a}f(x)=A

Для вычисления пределов использують следующие формулы:

  1. {lim}under{x{right}a}c=c,~c=const
  2. {lim}under{x{right}a}cf(x)=c{lim}under{x{right}a}f(x)
  3. {lim}under{x{right}a}(f(x){pm}{varphi}(x))={lim}under{x{right}a}f(x){pm}{lim}under{x{right}a}{varphi}(x)
  4. {lim}under{x{right}a}(f(x)*{varphi}(x))={lim}under{x{right}a}f(x)*{lim}under{x{right}a}{varphi}(x)
  5. {lim}under{x{right}a}{f(x)}/{{varphi}(x)}={{lim}under{x{right}a}f(x)}/{{lim}under{x{right}a}{varphi}(x)},~{lim}under{x{right}a}{varphi}(x)<>0

Подстановка предельного значения аргументу часто призводит к неопределенности виду

delim{lbrace}{0/0}{rbrace},~delim{lbrace}{{infty}/{infty}}{rbrace},~delim{lbrace}{0*{infty}}{rbrace},~delim{lbrace}{{infty}-{infty}}{rbrace},~delim{lbrace}{0^0}{rbrace},~delim{lbrace}{{infty}^0}{rbrace},~delim{lbrace}{1^{infty}}{rbrace}

Для разкрытия неопределенности сначала выполняют преобразования, а после переходят к пределу.

 

Первый замечательный предел

{lim}under{x{right}0}{sinx}/x=1~~~{doubleright}~

Следствия:   1.~{lim}under{x{right}0}{tgx}/x=1
 2.~{lim}under{x{right}0}{arcsinx}/x=1
 3.~{lim}under{x{right}0}{arctgx}/x=1
 4.~{lim}under{x{right}0}{1-cosx}/{x^2/2}=1
Второй замечательный предел

matrix{2}{1}{ {{lim}under{x{right}{infty}}{(1+1/x)}^x=e}{{lim}under{x{right}0}{(1+x)}^{1/x}=e }}~~~{doubleright}~

Следствия: 1.~{lim}under{u{right}0}{(1+u)}^{1/u}=e
 2.~{lim}under{x{right}{infty}}{(1+k/x)}^x=e^k
 3.~{lim}under{x{right}0}{ln(1+x)}/x=1
 4.~{lim}under{x{right}0}{(e^x-1)}/x=1
 5.~{lim}under{x{right}0}{(a^x-1)}/{xlna}=1 для a>0,~a<>1
 6.~{lim}under{x{right}0}{{(1+x)}^a-1}/{ax}=1