Simple Math - высшая математика в теории и практике

Из мат. анализа: Если мысли сходятся, то они ограничены.

 

Примеры решений: Обратная матрица

E-mail Печать PDF

Пример 1. Дана матрица A=(matrix{3}{3}{3 2 2 1 3 1 5 3 4}). Найти обратную матрицу. 

Решение:

{Delta}=delim{|}{matrix{3}{3}{3 2 2 1 3 1 5 3 4}}{|}=3*3*4+2*1*5+1*3*2-5*3*2-3*1*3-2*1*4=36+10+6-30-9-8=5

Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя по формулам A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}:

A_11=(-1)^{1+1}delim{|}{matrix{2}{2}{3 1 3 4}}{|}=9,     A_21=(-1)^{2+1}delim{|}{matrix{2}{2}{2 2 3 4}}{|}=-2,    A_31=(-1)^{3+1}delim{|}{matrix{2}{2}{2 2 3 1}}{|}=-4

A_12=(-1)^{1+2}delim{|}{matrix{2}{2}{1 1 5 4}}{|}=1,    A_22=(-1)^{2+2}delim{|}{matrix{2}{2}{3 2 5 4}}{|}=2,     A_32=(-1)^{3+2}delim{|}{matrix{2}{2}{3 2 1 1}}{|}=-1

A_13=(-1)^{1+3}delim{|}{matrix{2}{2}{1 3 5 3}}{|}=-12,     A_23=(-1)^{2+3}delim{|}{matrix{2}{2}{3 2 5 3}}{|}=1,    A_33=(-1)^{3+3}delim{|}{matrix{2}{2}{3 2 1 3}}{|}=7

Следовательно,

A^{-1}=1/{Delta}(matrix{3}{3}{A_11 A_21 A_31 A_12 A_22 A_32 A_13 A_23 A_33})=(matrix{3}{3}{{9/5} {{-2}/5} {{-4}/5} {1/5} {2/5} {{-1}/5} {{-12}/5} {1/5} {7/5}})

 

Пример 2. Найти матрицу, обратную матрице A=(matrix{3}{3}{1 2 0 3 2 1 0 1 {2~}})

Решение:

Найдем определитель этой матрице

{Delta}=delim{|}{matrix{3}{3}{1 2 0 3 2 1 0 1 2}}{|}=1*2*2+2*1*0+3*1*0-0*2*0-3*2*2-1*1*1=4-12-1=-9

Так как {Delta}<>0, то матрица А-невырожденная, и, следовательно существует обратная матрица.

Вычисляем алгебраические дополнения:

A_11=(-1)^{1+1}delim{|}{matrix{2}{2}{2 1 1 2}}{|}=2*2-1*1=3,     A_21=(-1)^{2+1}delim{|}{matrix{2}{2}{2 0 1 2}}{|}=2*2-1*0=-4,     A_31=(-1)^{3+1}delim{|}{matrix{2}{2}{2 0 2 1}}{|}=2*1-2*0=2,

  A_12=(-1)^{1+2}delim{|}{matrix{2}{2}{3 1 0 2}}{|}=-6,     A_22=(-1)^{2+2}delim{|}{matrix{2}{2}{1 0 0 2}}{|}=2,     A_32=(-1)^{3+2}delim{|}{matrix{2}{2}{1 0 3 1}}{|}=-1,

 A_13=(-1)^{1+3}delim{|}{matrix{2}{2}{3 2 0 1}}{|}=3,     A_23=(-1)^{2+3}delim{|}{matrix{2}{2}{1 2 0 1}}{|}=-1,     A_33=(-1)^{3+3}delim{|}{matrix{2}{2}{1 2 3 2}}{|}=-4

 

Следовательно,

A^{-1}=1/{Delta}(matrix{3}{3}{A_11 A_21 A_31 A_12 A_22 A_32 A_13 A_23 A_33})=(matrix{3}{3}{{{-3}/9} {4/9} {{-2}/9} {6/9} {{-2}/9} {1/9} {{-3}/9} {1/9} {4/9}})=(matrix{3}{3}{{{-1}/3} {4/9} {{-2}/9} {2/3} {{-2}/9} {1/9} {{-1}/3} {1/9} {4/9}})

 

Добавить комментарий

Защитный код
Обновить