Интегрирование простейших рациональных дробей

Печать

Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.

Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:

I. A/{x-a};

II. A/{(x-a)^m}, где m - целое число, большее единицы;

III. {Ax+B}/{x^2+px+q}, где {p^2}/4 -q <0 , т.е квадратный трехчлен x^2+px+q не имеет действительных корней

IV. {Ax+B}/{(x^2+px+q)^n}, где n - целое число, большее единицы, и квадратный трехчлен x^2+px+q не имеет действительных корней

Во всех четырех случаях предполагается, что A, B, p, q, a - действительные числа. Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробями I, II, III, IV типов. 

Расмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов. Имеем

I. int{}{}{A/{x-a}dx}=A~{ln}delim{|}{x-a}{|}+C;

II. int{}{}{{Adx}/{(x-a)^m}}=-{A/{m-1}}~* ~1/{(x-a)^{m-1}}+C

III. int{}{}{{dx}/{x^2+px+q}}=2/{sqrt{4q-p^2}}arctg{{2x+p}/{sqrt{4q-p^2}}}+C

Действительно, для этого частного случая простейшей дроби типа III получаем 

x^2+px+q=(x+p/2)^2+q-{p^2}/4, или x^2+px+q=t^2+a^2,

где t=x+p/2,~~a={sqrt{4q-p^2}}/2, откуда

int{}{}{{dx}/{x^2+px+q}}=int{}{}{{dt}/{t^2+a^2}}=

{=}{1/a}arctg{t/a}+C=2/{sqrt{4q-p^2}}arctg{2x+p}/{sqrt{4q-p^2}}+C