Найти интегралы, в которых в числители дроби имеется производная знаминателя
1.
2.
Не только каждая проблема имеет хотя бы одно решение – каждое решение имеет хотя бы одну проблему.
Найти интегралы, в которых в числители дроби имеется производная знаминателя
1.
2.
Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - многочлены.
Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.
Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:
I. ;
II. , где m - целое число, большее единицы;
III. , где
, т.е квадратный трехчлен
не имеет действительных корней
IV. , где n - целое число, большее единицы, и квадратный трехчлен
не имеет действительных корней
Во всех четырех случаях предполагается, что A, B, p, q, a - действительные числа. Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробями I, II, III, IV типов.
Расмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов. Имеем
I. ;
II.
III.
Действительно, для этого частного случая простейшей дроби типа III получаем
, или
,
где , откуда