Simple Math - высшая математика в теории и практике

Классификация математических задач на линейные и нелинейные - подобно классификации Вселенной как бананы и небананы.

 

Знаминатель не имеет действительных корней

Печать

Найти интеграл int{}{}{{3x-1}/{x^2-4x+8}dx}

Решение: в условии задания дробь вида III. Требуется найти int{}{}{{Ax+B}/{x^2+px+q}}dx,~~{p^2}/4-q<0 . Выделим в числителе дроби производную знаминателя. Для этого числитель представим в виде

Ax+B=(2x+p)*{A/2}-{Ap}/{2}+B=(2x+(-4))*{3/2}-{3(-4)}/{2}+(-1)={3/2}*(2x-4)+6-1.

Тогда

int{}{}{{Ax+B}/{x^2+px+q}}dx=A/2int{}{}{{2x+p}/{x^2+px+q}}dx+(B-{Ap}/2)int{}{}{{dx}/{x^2+px+q}}=

{=}{3/2}int{}{}{{2x-4}/{x^2-4x+8}}+5int{}{}{{dx}/{x^2-4x+8}}

В первом интеграле числитель является производной знаминателя; поэтому

int{}{}{{2x+p}/{x^2+px+q}}dx=ln(x^2+px+q)+C={3/2}int{}{}{{2x-4}/{x^2-4x+8}}dx={3/2}ln(x^2-4x+8)+C_1

так как x^2+px+q>0 для любого значения х. Второй интеграл находится по формуле

int{}{}{{dx}/{x^2+px+q}}=2/{sqrt{4q-p^2}}arctg{{2x+p}/{sqrt{4q-p^2}}}+C={5}int{}{}{{dx}/{x^2-4x+8}}=

{=}{5}int{}{}{{dx}/{(x-2)^2+2^2}}={5/2}arctg{{x-2}/2}+C_2

Итак, int{}{}{{3x-1}/{x^2-4x+8}}dx={3/2}ln(x^2-4x+8)+{5/2}arctg{{x-2}/2}+C

 

2. Найти интеграл int{}{}{{xdx}/{2x^2+2x+5}}

Решение: int{}{}{{xdx}/{2x^2+2x+5}}=int{}{}{{{1/4}(4x+2)-1/2}/{2x^2+2x+5}}dx=1/4int{}{}{{4x+2}/{2x^2+2x+5}}dx-

{-}{1/2}int{}{}{{dx}/{2x^2+2x+5}}={1/4}ln(2x^2+2x+5)-{1/2}*{1/2}int{}{}{{dx}/{x^2+x+5/2}}=

{=}{1/4}ln(2x^2+2x+5)-{1/4}int{}{}{{d(x+1/2)}/{(x+1/2)^2+(3/2)^2}}={1/4}ln(2x^2+2x+5)-{1/4}{1/{3/2}}arctg{{x+1/2}/{3/2}}+C=

{=}{1/4}ln(2x^2+2x+5)-{1/6}arctg{{2x+1}/3}+C

 

Добавить комментарий

Защитный код
Обновить