Примеры интегрирования простейших рациональных дробей

Классификация математических задач на линейные и нелинейные - подобно классификации Вселенной как бананы и небананы.

26.05.2012 16:14 Интегрирование рациональных дробей

1. Найти интеграл $int{}{}{{dx}/{x^2+6x+25}}.$

Решение. Разложим знаминатель дроба для выделение квадратного трехчлена

$int{}{}{{dx}/{x^2+6x+25}}=int{}{}{{dx}/{(x+3)^2+16}}=int{}{}{{d(x=3)}/{(x+3)^2+16}}=1/4~arctg{{x+3}/4}+C$

2. Найти интеграл $int{}{}{{dx}/{2x^2-2x+3}}.$

Решение

$int{}{}{{dx}/{2x^2-2x+3}}=1/2int{}{}{{dx}/{x^2-x+3/2}}=1/2int{}{}{{dx}/{(x-1/2)^2+(3/2-1/4)}}=$

${=}1/2int{}{}{{d(x-1/2)}/{(x-1/2)^2+(sqrt{5}/2)^2}}={1/2}{2/sqrt{5}} arctg{{x-1/2}/{sqrt{5}/2}}+C=$

{=}1/sqrt{5}arctg{{2x-1}/{sqrt{5}}}+C