Найти интегралы тригонометрических функций

Не только каждая проблема имеет хотя бы одно решение – каждое решение имеет хотя бы одну проблему.

11.04.2012 09:56

а) $int{}{}{sin^{3}xdx}$

Решение: В этом примере подстановка sin x = t будет непригодной, так как отсутствует множитель (sinx)'dx=cosxdx

.

Итак, $int{}{}{sin^{3}xdx}=int{}{}{sin^{2}x*sinxdx}=delim{|}{sin^{2}x=1-cos^{2}x}{|}=$

${=}int{}{}{(1-cos^{2}x)sinxdx}=delim{|}{matrix{3}{1}{{cosx=t}{-sinxdx=dt}{sinxdx=-dt}}}{|}=$

${=}-int{}{}{(1-t^2)dt}=-t+{t^3}/3+C={cos^3x}/3-cosx+C$

б) $int{}{}{{arctg^2{2x}}/{1+4x^2}}dx$

Решение: $int{}{}{{arctg^2{2x}}/{1+4x^2}}dx=int{}{}{{arctg^2{2x}}/{1+(2x)^2}}dx=$

${=}delim{|}{matrix{3}{1}{ {arctg2x=t}{{1/{1+(2x)^2}}*2dx=dt}{{dx}/{1+(2x)^2}={dt}/2}}}{|}={1/2}int{}{}{t^2dt}={1/2}*{{t^3}/3}+C={1/6}arctg^3{2x}+C$