Simple Math - высшая математика в теории и практике

Не только каждая проблема имеет хотя бы одно решение – каждое решение имеет хотя бы одну проблему.

 

Найти интегралы тригонометрических функций

Печать
 а)  int{}{}{sin^{3}xdx}
Решение: В этом примере подстановка sin x = t будет непригодной, так как отсутствует множитель  (sinx)'dx=cosxdx.
Итак,  int{}{}{sin^{3}xdx}=int{}{}{sin^{2}x*sinxdx}=delim{|}{sin^{2}x=1-cos^{2}x}{|}=
{=}int{}{}{(1-cos^{2}x)sinxdx}=delim{|}{matrix{3}{1}{{cosx=t}{-sinxdx=dt}{sinxdx=-dt}}}{|}=
{=}-int{}{}{(1-t^2)dt}=-t+{t^3}/3+C={cos^3x}/3-cosx+C
 
б) int{}{}{{arctg^2{2x}}/{1+4x^2}}dx
Решение: int{}{}{{arctg^2{2x}}/{1+4x^2}}dx=int{}{}{{arctg^2{2x}}/{1+(2x)^2}}dx=
{=}delim{|}{matrix{3}{1}{ {arctg2x=t}{{1/{1+(2x)^2}}*2dx=dt}{{dx}/{1+(2x)^2}={dt}/2}}}{|}={1/2}int{}{}{t^2dt}={1/2}*{{t^3}/3}+C={1/6}arctg^3{2x}+C

Добавить комментарий

Защитный код
Обновить