Замена переменной в неопределенном интеграле

Печать

Вычислить int{}{}{{dx}/{x+sqrt{x}}}

Решение. Сделаем замену t=sqrt{x} т.е x=t^2, тогда dx=d(t^2)=2tdt.  Теперь в исходный интеграл вместо x запишем t^2 и вместо sqrt{x} запишем t. В получившийся результат вместо t подставим sqrt{x}

int{}{}{{dx}/{x+sqrt{x}}}=delim{|}{matrix{2}{1}{{x=t^2} {dx=2tdt}}}{|}=int{}{}{{2tdt}/{t^2+t}}=2int{}{}{t/{t(t+1)}}dt=2int{}{}{dt/t+1}=

{=}2ln(t+1)+C=2ln(sqrt{x}+1)+C

 

Вычислить int{}{}{{{cos}root{3}{x}}/root{3}{x^2}}dx
Решение.  Сделаем замену t=root{3}{x} т.е x=t^3, тогда dx=d(t^3)=3t^2dt После вычисления интеграла вместо переменной t подставим  root{3}{x}

int{}{}{{{cos}root{3}{x}}/root{3}{x^2}}dx=delim{|}{matrix{2}{1}{{x=root{3}{t},~x=t^3} {dx=3t^2dt}}}{|}=int{}{}{{cost*3t^2dt}/{t^2}}=3int{}{}{cost}dt=

{=}3sint+C=3sin{x}^{1/3}+C