Simple Math - высшая математика в теории и практике

Полярный медведь - это прямоугольный медведь после преобразования координат.

 

Внесение под знак дифференциала

Печать

1. Вычислить int{}{}{x/{x^2+3}}dx

Решение. Внесем под знак дифференциала x и воспользуемся свойством неопеределенного интеграла - сталый множитель вынесим за знак интеграла. Итак

int{}{}{x/{x^2+3}}dx=delim{[}{xdx=1/2d(x^2)}{]}=int{}{}{{1/2d(x^2)}/{x^2+3}}=1/2ln(x^2+3)+C

 

2) int{}{}{{lnx}/x}dx

Решение. Преобразуем подинтегральное выражение таким образом, чтобы под дифференциалом стал lnx. Теперь можно будет пользоваться таблицей интегралов.

int{}{}{{lnx}/xdx}=delim{[}{dx/x=d(lnx)}{]}=int{}{}{lnxd(lnx)}={(lnx)^2}/2+C

 

3) int{}{}{tgx}dx

Решение. int{}{}{tgx}dx=int{}{}{{sinx}/{cosx}}dx=-int{}{}{{(cosx)prime dx}/{cosx}}=-int{}{}{{d(cosx)}/{cosx}}=

{=}-ln delim{|}{cosx}{|}+C

 

4) Найти int{}{}{dx/{(x^2+2x+2)arctg(x+1)}}

Решение. Заметив, что x^2+2x+2=(x+1)^2+1, заключаем, что подынтегральная функция зависит от x+1, а (x+1)prime=1 , т.е. в соответствии с формулой подстановки f(x)=g(psi(x))psi'(x) имеем f(x)=g(x+1)(x+1)prime. Введя множитель (x+1)prime под знак дифференциала: (x+1)'dx=d(x+1), сделаем подстановку  x+1=u, а затем продолжим преобразование данного интергала:

I=int{}{}{du/{(1+u^2)arctg~u}}=int{}{}{{d(arctg~u)}/{arctg~u}}={ln}delim{|}{arctgu}{|}+C={ln}delim{|}{arctg(x+1)}{|}+C 

 

Добавить комментарий

Защитный код
Обновить