Пусть заданы некоторые функции U =U(x), V = V(x) и они непрерывны вместе со своими производными. Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем:
Проинтегрировав обе части этого выражения, получим:
Для выражения d(UV) первообразной по свойству неопределённого интеграла будет U·V и поэтому имеет место формула:
Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Данное правило позволяет приводить интегрирование выражения UdV = UV'dx к интегрированию выражения VU'dx . Схема интегрирования заключается в том, что одна часть в подынтегральном выражении обозначается за U, а другая - за dV, затем вычисляются с помощью дифференцирования и интегрирования dU и V соответственно и подставляются в правую часть.
Цель интегрирования с применением формулы интегрирования по частям будет достигнута, если интеграл в правой части будет табличным или же станет проще, чем в левой части.
Заметим, что формула интегрирования по частям имеет ограниченное применение и с её помощью интегрируется в основном определённый класс функций.
Отметим некоторые из этих классов.
1. Произведение алгебраической функции (многочлен p(х)) на тригонометрическую или показательную. Интегрирование выражений
где p(х) —целый многочлен относительно x.
Если под знаком интеграла находится произведение алгебраической функции (многочлен p(х)) на тригонометрическую или показательную, то рекомендуется за «U» принимать многочлен, а оставшуюся часть подынтегрального выражения за «dV».
на тригонометрическую (sinβx или соsβx), то в этом случае безразлично, какую из входящих частей подынтегрального выражения обозначать за U или dV. Формула интегрирования по частям при этом применяется дважды, и в правой части получается такой же интеграл, что и в левой.