Simple Math - высшая математика в теории и практике

Точка думает: "Наверное, я - плод романа двух линий. "

 

Метод интегрирования по частям

Печать

Пусть заданы некоторые функции U =U(x), V = V(x) и они непрерывны вместе со своими производными. Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем:  

d(UV)=UdV+VdU~{right}~UdV=d(UV)-VdU

 Проинтегрировав обе части этого выражения, получим:

int{}{}{UdV}=int{}{}{d(UV)}-int{}{}{VdU}

 Для выражения d(UV) первообразной по свойству неопределённого интеграла будет U·V и поэтому имеет место формула:

int{}{}{UdV}=UV-int{}{}{VdU}

 Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Данное правило позволяет приводить интегрирование выражения UdV = UV'dx к интегрированию выражения VU'dx . Схема интегрирования заключается в том, что одна часть в подынтегральном выражении обозначается за U, а другая - за dV, затем вычисляются с помощью дифференцирования и интегрирования dU и V соответственно и подставляются в правую часть.

Цель интегрирования с применением формулы интегрирования по частям будет достигнута, если интеграл в правой части будет табличным или же станет проще, чем в левой части.

Заметим, что формула интегрирования по частям имеет ограниченное применение и с её помощью интегрируется в основном определённый класс функций.

Отметим некоторые из этих классов.

1.  Произведение алгебраической функции (многочлен p(х)) на тригонометрическую или показательную. Интегрирование выражений

int{}{}{p(x)delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{sinax}{cosax}}}{rbrace}dx},~int{}{}{p(x)delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{e^{ax}}{a^{ax}}}}{rbrace}dx},

где p(х) —целый многочлен относительно x.

    Если под знаком интеграла находится произведение алгебраической функции (многочлен p(х)) на тригонометрическую или показательную, то рекомендуется за «U» принимать многочлен, а оставшуюся часть подынтегрального выражения за «dV».

 

2. Произведение алгебраической функции (многочлен р(х)) на логарифмическую или обратную тригонометрическую функции. Интегрирование выражений
 
int{}{}{p(x)delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{lnx}{arcsinx}{arctgx}}}{rbrace}dx}
   Если под знаком интеграла находится произведение алгебраической функции (многочлен р(х)) на логарифмическую или обратную тригонометрическую функции, то в этом случае рекомендуется за «U» принимать трансцендентную функцию, а оставшуюся часть за dV .
 
3. Произведение показательной функции на тригонометрическую. Интегрирование выражений вида
int{}{}{e^{alpha{x}}delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{cos{beta}x}{sin{beta}x}}}{rbrace}dx}
  Если под знаком интеграла находится произведение показательной функции ({e}^{alpha{x}},~ {alpha}^{alpha{x}}) на тригонометрическую (sinβx или соsβx), то в этом случае безразлично, какую из входящих частей подынтегрального выражения обозначать за U или dV. Формула интегрирования по частям при этом применяется дважды, и в правой части получается такой же интеграл, что и в левой.
 

Добавить комментарий

Защитный код
Обновить